Einführung in die algebraische Zahlentheorie by Alexander Schmidt

By Alexander Schmidt

Das vorliegende Buch gibt eine Einführung in die Grundgedanken der modernen algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themenbereichen, die üblicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden, führt es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der modernen Theorie ausmachen. Hierbei wird besonderer Wert auf Lokal-Global-Prinzipien für diophantische Gleichungen gelegt. Die Dedekindsche Theorie der Ideale wird für den Fall quadratischer Zahlkörper vollständig entwickelt. Es werden die p-adischen Zahlen eingeführt und der berühmte Satz von Hasse-Minkowski über purpose quadratische Formen bewiesen. Der technische Apparat wird behutsam und nur so weit entwickelt, wie es für die konkreten Fragestellungen nötig ist. Daher können weite Teile des Buches ohne Vorwissen gelesen werden. Umfangreiches Übungsmaterial rundet die Darstellung ab.

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Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen kongruent 1 modulo 6 gibt. Aufgabe 3. Man zeige: F¨ ur jedes a ∈ ZZ hat die Zahl n = 9a2 +3a+1 nur Primteiler kongruent 1 modulo 3. 4 Quadratsummen I Wir wollen mit Hilfe des Quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes Darstellungen von Primzahlen als Quadratsummen herleiten. Der folgende Satz ist ein Klassiker. 1 (Lagrange). Eine ungerade Primzahl ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn sie kongruent 1 modulo 4 ist. Da die Summe zweier Quadrate stets ≡ 0, 1, 2 mod 4 ist, ist die gegebene Bedingung notwendig.

Aus der letzten Kongruenz folgt also 1 ≡ 16 mod 17, und wir erhalten den gesuchten Widerspruch. 10. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat keine ganzzahligen L¨osungen. Beweis. 9. 1. 11. Die Gleichung von Lind und Reichardt hat keine rationalen L¨osungen. Beweis. Angenommen, es g¨ abe x, y ∈ Q mit x4 −17 = 2y 2 . Seien x = ab , y = dc (a, b, c, d ∈ ZZ, b, d > 0) die gek¨ urzten Darstellungen. Durch Multiplizieren mit den Nennern erhalten wir die Gleichung a4 d2 − 17b4d2 = 2c2 b4 . Also gilt d2 |2c2 b4 .

Xi−1 , X, xi+1 , . . , x(1) r ). (1) Die ganze Zahl xi ist Nullstelle von f modulo p und erf¨ ullt die Bedingung (1) f ′ (xi ) ≡ 0 mod p. Nun folgt die Behauptung aus dem letzten Satz, sogar (1) (n) ur j = i und alle n setzen mit der Zusatzinformation, dass wir xj = xj f¨ k¨ onnen. ⊓ ⊔ Aufgabe 1. Man zeige: F¨ ur jede Primzahl p = 2 und jedes n ∈ IN hat die Gleichung osung (x1 , x2 , x3 ) modulo pn , so dass x1 , x2 , x3 nicht alle X12 + X22 + X32 = 0 eine L¨ durch p teilbar sind. Aufgabe 2.

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