Aritmetica: un approccio computazionale (Convergenze) by Giulio Cesare Barozzi

By Giulio Cesare Barozzi

Il quantity si propone di fornire una prima introduzione alla teoria elementare dei numeri, rivolta agli insegnanti (e ai futuri insegnanti) di matematica. Esso vuole costituire un invito e una preparazione consistent with l. a. lettura di opere pi? impegnative di cui c'? gran copia nella letteratura di lingua inglese e (ultimamente grazie proprio a Springer) una buona presenza anche in lingua italiana. Esso si caratterizza consistent with avere una "approccio computazionale" cio? in step with favorire l'uso di un software program (scegliendolo tra i pi? diffusi oggi in commercio) ai fini della costruzione di un laboratorio di calcolo.

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Zmk definita da f : x → x mod m1 , x mod m2 , . . 5. Se x e y sono due elementi di Zm , per calcolare x + y oppure xy si pu`o procedere calcolando innanzitutto le due k-ple di resti (u1 , u2 , . . , uk ) := f (x), si calcolano le k-ple (s1 , s2 , . . , sk ) := f (y); Aritmetica: un approccio computazionale 46 (u1 + s1 , u2 + s2 , . . , uk + sk ), (u1 s1 , u2 s2 , . . , uk sk ) dove uj + sj e uj sj vengono calcolati modulo mj , ed infine si applica a queste ultime la funzione f −1 . 2 mostra come un procedimento analogo possa essere applicato al calcolo del reciproco di un elemento di Zm , nel caso particolare m = 105 = = 3 · 5 · 7.

N 1 − 1/pj n=1 j=1 Ma un semplice studio (che lasciamo come esercizio al lettore) mostra che, per 0 ≤ x ≤ 1/2, si ha 1/(1 − x) ≤ e2x ; dunque N k k 1 1 1 . ≤ ≤ exp 2 n 1 − 1/p p j n=1 j=1 j=1 j N Per N → ∞ la somma n=1 1/n diverge; altrettanto fa dunque la somma k j=1 1/pj per k → ∞. Per una dimostrazione alternativa del risultato appena stabilito, il lettore pu` o consultare ancora il primo capitolo del volume di Aigner-Ziegler [29]. Per dare una risposta pi` u accurata al problema della densit` a dei numeri primi nell’ambito dei naturali, conviene introdurre la funzione n → π(n), dove π(n) `e definito come il numero dei numeri primi non superiori a n.

Si confronti l’algoritmo 1 Numeri interi 29 precedente con la Proposizione 1 del Libro VII degli Elementi di Euclide, che di seguito riportiamo: “Si prendano due numeri disuguali e si proceda [a sottrazioni successive] togliendo di volta in volta il minore dal maggiore [la differenza dal minore e cos`ı via]; se il numero che [ogni volta] rimane non divide mai quello immediatamente precedente, finch´e rimanga soltanto l’unit` a, i numeri dati all’inizio saranno primi tra loro ”. [Cfr. Gli Elementi di Euclide, a cura di A.

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